上海尚德实验学校

《上海市中小学数学课程标准》提出了“拓宽创造性学习的课程渠道”这一新的课程理念，并明确指明了具体操作的途径与方法，其中之一就是：建立合理的数学训练系统。即要充实具有实践性、实用性、探索性和开放性的数学习题，使发展性训练与基础性训练协调互补；要增加习题的层次性、多样性和可选择性，使数学训练适应不同学生发展的需要。
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开放性问题在发展学生思维能力，培养良好的思维品质方面有着独特的作用。因此我们在教学中作了一些尝试与探究，并取得了一定的效果。

[案例]上教版九年制义务教育课本《数学》第九册P102应用题例2

第一环节：呈现课本例题，并进行解答。

例2  两个城市相距255千米，甲、乙两辆汽车同时从两个城市出发，相向而行。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是43千米/时。两车几小时后相遇？

通过对“相向而行”及“相遇”含义的分析与理解，引导学生通过画出线段图（如图1），列出了“甲车行的路程＋乙车行的路程＝相距的路程”的等量关系式，并根据等量关系式列出“42X＋43X＝255”的方程进行解答。

第二环节：改编课本例题，使之成为开放性应用题，并进行解答。

变式题1  两个城市相距255千米，甲、乙两辆汽车同时从两个城市出发。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是43千米/时。两车几小时后相遇？

师：请仔细读题，这道题与例2有什么区别？

生1：例2告诉我们甲、乙两车的行驶方向是“相向而行”，而这道题没有说明两车是怎么行驶的？

师：那怎么办？

生2：我们可以假设甲、乙两车是“相向而行”。

师：这样的话，此题应该怎么解？

生2：跟例2的解法一样。

师：我们还可以以怎样假设？

生3：我们可以假设甲、乙两车是“同向而行”。

师：如何“同向而行”？

生4：甲车在前行驶，乙车在后面追赶。线段图的画法，只要把图1中甲车行驶方向箭头改成往左就可以了。如图2所示：

师：等量关系如何列呢？

生4：甲车行的路程＋相距的路程＝乙车行的路程。

生5：还可以这样列：乙车行的路程－相距的路程＝甲车行的路程。

生6：还可以这样列：乙车行的路程－甲车行的路程＝相距的路程。

师：非常好。请同学们根据自己所喜欢的等量关系，列出方程并解答。

生7：我认为还可以这样假设：乙车在前面行驶，甲车在后面追赶。线段图的画法，只要把图1中乙车行驶方向箭头改成往右就可以了。如图3所示

师：如果这样假设会出现什么情况?

生9：两车永远不会相遇。
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师：为什么？

生9：乙车的速度快，甲车的速度慢，慢车追快车是不可能追上的。

师：非常好，经过大家的共同努力，我们把这道条件开放的应用题解答得十分完美。虽然最后一种情况是“两车永远不会相遇”，但它也是这道应用题的一个答案，缺了它答案就不全面了。

师：解完了这题，我们来反思一下。谁来说说，在解答这种条件开放的应用题时，如何思考才能把问题考虑得较完美？

生10：把题目中不确定的条件通过假设补全,使它成为一道条件确定的应用题,然后再进行解答。

师：补条件时要注意些什么？

生11：按照实际情况有序的把所有可能出现的情况一一进行假设。

下面，老师把这道题再改编一下，按照刚才你们所说的注意点,看谁解答得最完美。

第三环节：进一步改编，使之成为更为开放的应用题，并进行解答。

变式题2  两个城市相距255千米，甲、乙两辆汽车同时从两个城市出发。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是43千米/时。两车几小时后相距510千米？

学生先独立解答,然后进行交流，共有如下答案:

答案（1）：如果两车“相向而行”：则两车先要在两个城市中间的某一地点相遇后，再各自向前继续行驶，若干小时后两车相距510千米。如图4所示

此题的数量关系式是“甲车行的路程＋乙车行的路程＝两个城市相距的路程＋510千米”，方程是“42X＋43X＝255＋510”，答案是9小时。

答案（2）：如果两车“相背而行”：则两车所要行的路程是相距的路程（510千米）减去两个城市相距的路程（255千米）。如图5所示：

此题的数量关系式是“甲车行的路程＋乙车行的路程＝510千米－两个城市相距的路程”，方程是“42X＋43X＝510－255”，答案是3小时。

答案（3）：如果两车“同向而行”，则可能分为两种情况。一种情况是乙车在前，甲车在后，另一种情况是甲车在前，乙在后。

情况一：乙车在前，甲车在后。因为乙快甲慢，所以甲车不仅追不上乙车，而且两车越走距离越远，最终会出现两车相距510千米的情况。如图6所示：

此题的数量关系式是“255千米＋乙车行的路程＝甲车行的路程＋510千米”，方程是“255＋43X＝42X＋510”，答案是255小时。

情况二：甲车在前，乙车在后。因为乙快甲慢，所以当乙车追上甲车并超越后继续往前行驶，乙车会领先甲车越来越多，最终会出现相距510千米的情况。如图7所示：

学生通过分析以及画线段图，发现此题比较复杂，直接列出方程解答比较困难。因此，我就组织学生进行小组讨论，然后进行交流，最后在老师的引导下学生找出了解决此题的方法：把整个行驶过程分成两个部分，第一部分是两车同时出发后乙车追上甲所需的时间；第二部分是乙车追上甲后就变成两车从同一地点出发，乙车把甲车甩下510千米所要的时间，最后把两部分所需的时间加起来就是一共所需要的时间。

第一部分的数量关系式是“甲车行的路程＋相距的路程＝乙车行的路程”，方程是“42X＋255＝43X”，答案是255小时：第二部分的数量关系式是“甲车行的路程＋510＝乙车行的路程”，方程是“42X＋510＝43X”，答案是510小时，共计255＋510＝765小时。

第四环节：模仿练习。

练习题  甲、乙两人从相距27千米的两地同时出发，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。（1）几小时后两人相遇？（2）几小时后两人相距27千米？

[教学反思]

一、挖掘封闭题的潜在价值，对其进行适当改编，使之成为开放题并进行教学。

本堂课的教学内容例2在没有改编之前是属于典型行程问题中的相遇问题。但是本堂课的教学目标不是引导学生推导出相遇问题的解题模式，然后套用模式解答题目，而是立足于培养学生分析问题，找寻等量关系并布列方程的能力，以提高学生应用方程思想解决问题的能力。

在本案例中，例2经过第一次改编后使原来单纯的相遇问题变成了集相遇问题和追及问题于一体的综合行程问题；经过第二次改编后使其集相遇和追及于一体的综合行程问题变成了既有相对独立的相遇和追及问题，又包含有相遇与追及相互交容、同时存在的情形。

如此设计的目的完全是为了避免传统典型行程问题的教学思路和方法——推导出行程问题各种情形的解题模式，然后套用模式进行解答，而是完全致力于培养学生分析应用题中数量关系、找寻等量关系的能力，然后用方程这一十分有用的数学解题工具进行解题。从本案例所取得的效果以及学生的表现来看，本堂课达到了预先所设计的目标：学生在学习新知以及练习时，没有表现出去刻意套用模式去解答应用题的意识，而是完全致力于寻找题中的等量关系，然后根据等量关系列方程解答。

二、运用开放性应用题进行教学，注重培养学生的思维品质。

通过以上案例的教学与实践，不难发现运用数学开放题进行教学可以使知识传授和思维的发展得以同步进行，在这一过程中对于学生思维品质的优化起着非常重要的作用。参阅思维品质的有关理论并结合本人的教学实践，本人总结出运用开放性应用题进行教学对学生思维品质的优化功能，其主要表现如下：

（1）对思维深刻性的培养

一般来说，一道开放题中至少包含两个以上的数学知识点。像本案例中的变式题1虽说问题是问何时相遇，但由于其条件的开放，造成其包含有相向而行、同向而行两种情形，也就使此题含了相遇和追及两个知识点；像本案例中的变式题2，使其包含有相遇与追及同时存在于一种情形的情况。这就要求学生从不同角度观察所面对的问题，从生活实际经验出发，对问题作出全面、深入、正确的判断，找出各个问题各自的特征，透过现象掌握本质，然后在自己原有知识的基础上，假设或联想有关条件或目标，将问题具体化，找到自己独到的解题答案。

由此可见，运用开放性应用题进行教学有利于培养思维的深刻性。

（2）对思维灵活性的培养

思维的灵活性是指在处理问题时的随机应变的能力。开放题是非常规的数学问题，要求学生善于选择题目所提供的信息，及时调整思维角度、改变原来的思维过程，不固执己见，不拘泥于陈旧的方法，善于由题目的已知条件提出新的设想和解决问题的方案。

（3）对思维发散性的培养
　　　一道开放题的答案往往有数个即相互联系又相互独立的部分所组成，缺少了任何一个部分答案就是不完整的。探求开放题的各种答案，要求学生全面观察，广泛联想，多方向、多角度思考。如本案例中变式题1和2，都要求学生对条件和问题进行多方向、多角度的去思考，才能考虑到相向、同向、背向这三种都有可能出现的情形。

这样的训练环境比封闭题更有效地培养学生的发散性思维能力。

（4）对思维批判性的培养

由于开放题的结论常常是未知的或不确定的，有的有待于猜想，有的存在多种可能，这就为培养学生思维的批判性提供了极好的机遇与素材，我们应当教会学生善于运用各种思维形式，排除不可能发生的情况，作出正确的选择与判断。如本案例中变式题1的解答过程中，对于乙车在前，甲车在后追的情形，学生经过分析得出由于乙车的速度快，甲车的速度慢，所以甲车追乙车是永远不会相遇的。

（5）对思维创造性的培养

“开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力。”由于开放题自身的条件的不完备性、答案的不确定性，常常需要学生具有打破常规解决问题的一种创造能力。如善于发现问题找出疑问，在条件变化的情况下，寻求新的解法，甚至能提出某种设想，不论这种设想正确与否，都是创造性思维的开端。正如本案例中变式题2的解答过程，学生经过创造性的想像，把答案（3）中的两种情形也都假设出来了，虽然这两种情形看起来有点人为安排的感觉，但在现实生活中确实可能出现。

三、运用开放性问题进行教学的几点思考：

1、教师对于所设计的开放性问题，要作好充分的准备与估计，这样方能得心应手地对付课堂内可能发生的情况。

2、课堂上要让学生自己动手、动脑，让学生充分地通过自己的思考，互相交流，互相启发寻找答案。

3、教师启发要得当，要善于从学生正确的、部分正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定成绩，指出不足，引导前进。

4、开放题教学是对教师教学应变能力的挑战，教师既要照顾到差生的解答水平，又要鼓励优生去寻求更高层次的解答，并使各种智力体验变成大家共同的财富。

5、开放题和封闭题在数学教学中应该并存而不是互相排斥。封闭题对于知识的同化，培养学生的基本技能等具有重要的意义，数学开放题为高层次思维创造了条件，但不是绝对的、唯一的。没有一个问题，对所有的学生来说，都能导致高层次的思维，一个问题能否导致高层次思维，不仅和问题本身有关，而且还与个人的经验有关。
主要参考文献：
1.戴再平  《开放题——数学教学的新模式》，上海教育出版社，2002.1
2.任樟辉  《数学思维论》，广西教育出版社，1996.12